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2007年考研数一答案

2016-01-12 10:46:45 文章库 来源:http://www.chinazhaokao.com 浏览:

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2007年考研数一答案篇一:07年考研数学一真题及答案

2007年考研数学一真题

一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内) (1) 当x?

0 ( )

A. 1??

B.

C. 1

D.1?

(2) 曲线y=

1

?ln(1?ex), 渐近线的条数为 ( ) x

A.0 B.1 C.2 D.3

(3)如图,连续函数y=f(x)在区间[-3,-2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[-2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设F(x)=结论正确的是 ( ) A. F(3)=?

?

x

f(t)dt .则下列

3535

F(?2) B. F(3)=F(2) C. F(3)=?F(2) D. F(3)= ?F(?2) 4444

(4)设函数f(x)在x=0处连续,下列命题错误的是 ( )

f(x)f(x)?f(?x)

存在,则f(0)=0 B. 若lim 存在,则f(0)=0

x?0x?0xx

f(x)f(x)?f(?x)''

C. 若lim 存在,则f(0)=0 D. 若lim 存在,则f(0)=0

x?0x?0xx

A. 若lim

(5)设函数f(x)在(0, +?)上具有二阶导数,且f"(x)?o, 令un=f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是 ( )

A.若u1?u2,则{un}必收敛 B. 若u1?u2,则{un}必发散 C. 若u1?u2,则{un}必收敛 D. 若u1?u2,则{un}必发散

(6)设曲线L:f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数),过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,T为L上从点M到N的一段弧,则下列小于零的是 ( ) A.

?(x,y)dx B. ?

r

r

f(x,y)dy C.

?

r

f(x,y)ds D.

?

r

f'x(x,y)dx?f'y(x,y)dy

(7)设向量组?1,?2,?3线形无关,则下列向量组线形相关的是: ( ) (A)

?1??2,?2??3,?3??1 (B) ?1??2,?2??3,?3??1

(C) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1 (D)?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1

?2?1?1??100?????

(8)设矩阵A=??12?1?,B=?010?,则A于B ( )

??1?12??000?????

(A) 合同,且相似

(C) 不合同,但相似

(B) 合同,但不相似 (D)既不合同,也不相似

(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p?0?p?1?,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为: ( ) (A)3p(1?p)2 (C) 3p2(1?p)2

(B)6p(1?p)2 (D) 6p2(1?p)2

(10) 设随即变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度,则在Y=y的条件下,X的条件概率密度fX(A)fX(x)

(B) fY(y)

|Y

(x|y)为 ( )

(C) fX(x)fY(y)

(D)

fX(x)

fY(y)

二.填空题:11-16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上 (11)

?

2

1

11

xdx=_______. 3x

?z

=______. ?x

yx

(12)设f(u,v)为二元可微函数,z?f(x,y),则

(13)二阶常系数非齐次线性方程y''?4y'?3y?2e2x的通解为y=____________. (14)设曲面

?

:|x|?|y|?|z|?1,则

???

?

(x?|y|)ds=_____________.

?0

?0

(15)设矩阵A=?

?0??0

10000100

0??0?3

,则A的秩为________. 1??0?

1

的概率为________. 2

(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于

三.解答题:17~24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17)(本题满分11分)求函数f(x,y)?x2?2y2?x2y2在区域D?{(x,y)x2?y2?4,y?0}上的最大值和最小值。

(18)(本题满分10分)计算曲面积分

I???xzdydz?2xydzdx?3xydxdy,

?

2

y2

其中?为曲面z?1?x?(0?z?1)的上侧.

4

(19)(本题是11分)

设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶导数且存在相等的最大值, f(a)?g(a),f(b)?g(b)证明:存在??(a,b),使得f''(?)?g''(?).

(20)(本题满分10分)

设幂级数?anxn在(??,??)内收敛,其和函数y(x)满足

n?0?

y''?2xy'?4y?0,y(0)?0,y'(0)?12

an,n?1,2,?;n?1

(2)求y(x)的表达式.(1)证明an?2?

(21)(本题满分11分)

?x1?x2?x3?0?

设线性方程组?x1?2x2?ax3?0

?2x?4x?ax3?02?1与方程x1?2x2?x3?a?1

(2)

有公共解,求a的值及所有公共解.

(22)设3阶对称矩阵A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2,?1?(1,?1,1)T是A的属于?1的一个特征向量,记B?A?4A?E其中E为3阶单位矩阵

5

3

(1)

(I)验证?1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值的特征向量; (II)求矩阵B.

(23)设二维变量(x,y)的概率密度为 f(x,y)??

0?x?1,0?y?1?2?x?y

其他0?

(I)求P{X?2Y}; (II)求z?X?Y的概率密度.

(24)设总体X的概率密度为

?1

0?x???2?

??1

??x?1 f(x,?)??

2(1??)??0其他??

X1,X2,…Xn是来自总体X的简单随机样本,是样本均值

(I)求参数?的矩估计量;

(II)判断42是否为?2的无偏估计量,并说明理由.

2007年考研数学一真题解析

一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)

(2) 当x?

0 (B)

A. 1??

B.

C. 1

D.1?

(2) 曲线y=

1

?ln(1?ex), 渐近线的条数为 (D) x

A.0 B.1 C.2 D.3

(3)如图,连续函数y=f(x)在区间[-3,-2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[-2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设F(x)=结论正确的是 (C) A. F(3)=?

?

x

f(t)dt .则下列

3535

F(?2) B. F(3)=F(2) C. F(3)=?F(2) D. F(3)= ?F(?2) 4444

(4)设函数f(x)在x=0处连续,下列命题错误的是 (C)

f(x)f(x)?f(?x)

存在,则f(0)=0 B. 若lim 存在,则f(0)=0

x?0x?0xx

f(x)f(x)?f(?x)''

C. 若lim 存在,则f(0)=0 D. 若lim 存在,则f(0)=0

x?0x?0xx

A. 若lim

(5)设函数f(x)在(0, +?)上具有二阶导数,且f"(x)?o, 令un=f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是(D)

A.若u1?u2,则{un}必收敛 B. 若u1?u2,则{un}必发散 C. 若u1?u2,则{un}必收敛 D. 若u1?u2,则{un}必发散

(6)设曲线L:f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数),过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,T为L上从点M到N的一段弧,则下列小于零的是 (B) A.

?(x,y)dx B. ?

r

r

f(x,y)dy C.

?

r

f(x,y)ds D.

?

r

f'x(x,y)dx?f'y(x,y)dy

(7)设向量组?1,?2,?3线形无关,则下列向量组线形相关的是: (A) (A)

?1??2,?2??3,?3??1 (B) ?1??2,?2??3,?3??1

(C) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1 (D)?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1

?2?1?1??100?????

(8)设矩阵A=??12?1?,B=?010?,则A于B, (B)

??1?12??000?????

(A) 合同,且相似

(C) 不合同,但相似

(B) 合同,但不相似 (D)既不合同,也不相似

2007年考研数一答案篇二:2007考研数学(一)试题及详细答案解析

2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析

一、选择题:(本题共10小题,每小题4分,共40分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1) 当x

?0?

(A) 1?

(B) ln

(C) 1.

(D) 1? [ B ]

【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式,尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量,再进行比较分析找出正确答案.

【详解】 当x

?

0时,有1??

??(?1)~

1~

1?~

(2) 曲线y?

11

2?x. 利用排除法知应选(B). 22

1

?ln(1?ex),渐近线的条数为 x

(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ]

【分析】 先找出无定义点,确定其是否为对应垂直渐近线;再考虑水平或斜渐近线。 【详解】 因为lim[?ln(1?e)]??,所以x?0为垂直渐近线;

x?0

1x

x

又 lim[?ln(1?e)]?0,所以y=0为水平渐近线;

x???

1x

x

y1ln(1?ex)ln(1?ex)ex

]?lim进一步,lim?lim[2?=lim?1, xx???xx???xx???x???xx1?e

lim[y?1?x]?lim[?ln(1?e)?x]=lim[ln(1?e)?x]

x???

x????x

1

x

xx

x???

=lim[lne(1?e)?x]?limln(1?e)?0,

x???

x???

x?x

于是有斜渐近线:y = x. 故应选(D).

(3) 如图,连续函数y=f(x)在区间[?3,?2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[?2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设F(x)?则下列结论正确的是

?

x

f(t)dt.

35

F(?2). (B) F(3)?F(2). 4435

(C) F(?3)?F(2). (D) F(?3)??F(?2). [ C ]

44

(A) F(3)??

【分析】 本题考查定积分的几何意义,应注意f(x)在不同区间段上的符号,从而搞清

楚相应积分与面积的关系。

【详解】 根据定积分的几何意义,知F(2)为半径是1的半圆面积:F(2)?

1

?, 2

F(3)是两个半圆面积之差:F(3)?

1133

[??12???()2]??=F(2), 2284

3

?3

F(?3)??

?30

f(x)dx???f(x)dx??f(x)dx?F(3)

因此应选(C).

(4) 设函数f(x)在x=0处连续,下列命题错误的是

f(x)f(x)?f(?x)

存在,则f(0)=0. (B) 若lim存在,则f(0)=0.

x?0x?0xx

f(x)f(x)?f(?x)

(C) 若lim存在,则f?(0)存在. (D) 若lim存在,则f?(0)存在

x?0x?0xx

(A) 若lim

[ D ] 【分析】 本题为极限的逆问题,已知某极限存在的情况下,需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。

【详解】 (A),(B)两项中分母的极限为0,因此分子的极限也必须为0,均可推导出f(0)=0. 若lim

x?0

f(x)f(x)?f(0)f(x)

存在,则f(0)?0,f?(0)?lim?lim?0,可见(C)也正确,

x?0x?0xx?0x

故应选(D). 事实上,可举反例:f(x)?x在x=0处连续,且

lim

x?0

x??xf(x)?f(?x)

=lim?0存在,但f(x)?x在x=0处不可导。 x?0xx

(5) 设函数f (x)在(0,??)上具有二阶导数,且f??(x)?0. 令un?f(n)(n?1,2,?,), 则下列结论正确的是

(A) 若u1?u2,则{un}必收敛. (B) 若u1?u2,则{un}必发散.

(C) 若u1?u2,则{un}必收敛. (D) 若u1?u2,则{un}必发散. [ D ]

【分析】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。

【详解】 设f(x)=x, 则f (x)在(0,??)上具有二阶导数,且f??(x)?0,u1?u2,但

2

{un}?{n2}发散,排除(C); 设f(x)=

1

, 则f(x)在(0,??)上具有二阶导数,且x

1

f??(x)?0,u1?u2,但{un}?{收敛,排除(B); 又若设f(x)??lnx,则f(x)在(0,??)上

n

具有二阶导数,且f??(x)?0,u1?u2,但{un}?{?lnn}发散,排除(A). 故应选(D).

(6) 设曲线L:f(x,y)?1(f(x,y)具有一阶连续偏导数),过第II象限内的点M和第IV象限内的点N,T为L上从点M到点N的一段弧,则下列小于零的是

(A) (C)

??

T

f(x,y)dx. (B) f(x,y)ds. (D)

??

T

f(x,y)dy.

fx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy. [ B ]

TT

【分析】 直接计算出四个积分的值,从而可确定正确选项。

【详解】 设M 、N点的坐标分别为M(x1,y1),N(x2,y2),x1?x2,y1?y2. 先将曲线方程代入积分表达式,再计算有:

??

T

f(x,y)dx??dx?x2?x1?0;

T?

T

f(x,y)dy??dy?y2?y1?0;

T

T

T

f(x,y)ds??ds?s?0;

T?

T

fx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy??df(x,y)?0.

故正确选项为(B).

(7) 设向量组?1,?2,?3线性无关,则下列向量组线性相关的是

(A)

?1??2,?2??3,?3??1. (B) ?1??2,?2??3,?3??1.

(C) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. (D)

【详解】用定义进行判定:令

?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. [ A ]

x1(?1??2)?x2(?2??3)?x3(?3??1)?0,

得 (x1?x3)?1?(?x1?x2)?2?(?x2?x3)?3?0.

?x3?0,?x1    

?

?0, 因?1,?2,?3线性无关,所以 ??x1?x2   

?   ?x2?x3?0.?

1

又 ?1

01?1

?0?0, 1

故上述齐次线性方程组有非零解, 即?1??2,?2??3,?3??1线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的.

?2?1?1??100?????

(8) 设矩阵A???12?1?, B??010?, 则A与B

??1?12??000?????

(A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .

(C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. [ B ]

【详解】 由|?E?A|?0 得A的特征值为0, 3, 3, 而B的特征值为0, 1, 1,从而A与B不相似.

又r(A)=r(B)=2, 且A、B有相同的正惯性指数, 因此A与B合同. 故选(B) .

(9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0

(A) 3p(1?p). (B) 6p(1?p).

2

2

(C) 3p2(1?p)2. (D) 6p2(1?p)2. [ C ] 【详解】 “第4次射击恰好第2次命中”表示4次射击中第4次命中目标, 前3次射击中有1次命中目标, 由独立重复性知所求概率为:C3p(1?p). 故选(C) .

(10) 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x)fY(y)分别表示X,

1

2

2

Y的概率密度,则在Y=y的条件下,X的条件概率密度fX|Y(x|y)为

(A) fX(x). (B) fY(y). (C ) fX(x)fY(y). (D)

fX(x)

. [ A ] fY(y)

【详解】 因(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,故X与Y相互独立,于是

fX|Y(x|y)=fX(x). 因此选(A) .

二、填空题:(11-16小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上)

(11)

?

2

1

1111

x

dx= e2. 3

2x

1

?tx

【分析】 先作变量代换,再分部积分。 【详解】

?

2

1

1

dx?x3

1x

?

1

23t1

te(?

t

11t

)dt?te122dt t

=

tde

1

2

1

?te

t112

11

??1edt?e2.

22

1

ty

x

(12) 设f(u,v)为二元可微函数,z?f(x,y),则【详解】 利用复合函数求偏导公式,有

?zy?1x

=f1??yx?f2??ylny. ?x

?zy?1x

=f1??yx?f2??ylny. ?x

2x

(13) 二阶常系数非齐次线性微分方程y???4y??3y?2e

的通解为

y?C1ex?C2e3x?2e2x. 其中C1,C2为任意常数.

【详解】 特征方程为

?2?4??3?0,解得?1?1,?2?3. 可见对应齐次线性微分方

x

3x

程y???4y??3y?0的通解为 y?C1e?C2e.

设非齐次线性微分方程y???4y??3y?2e的特解为y?ke,代入非齐次方程可得k= ?2. 故通解为y?C1e?C2e?2e.

(14) 设曲面?:x?y?z?1,则

x

3x

2x

2x

*2x

(x?|

y|)dS=

?

【详解】 由于曲面?关于平面x=0对称,因此有轮换对称性,于是

xdS=0. 又曲面?:x?y?z?1具

?

(x?|y|)dS=|y|dS=|x|dS=|z|dS=

?

?

?

?

1

(|x|?|y|?|z|)dS 3?

=

113dS ??

8?332?

100?

?

010?3

, 则A的秩为1.

001?

?

000??

?0?0

(15) 设矩阵A??

?0??0?

?0??03

【详解】 依矩阵乘法直接计算得 A??

0??0?

001?

?

000?3

, 故r()=1. A?000?

000??

13

(16) 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于的概率为.

24

【详解】 这是一个几何概型, 设x, y为所取的两个数, 则样本空间

??{(x,y)|0?x,y?1}, 记A?{(x,y)|(x,y)??,|x?y|?.

SAS?

1

2

故 P(A)?

3

3

??,其中SA,S?分别表示A与? 的面积. 14

三、解答题:(17-24小题,共86分. ) (17) (本题满分11分)

求函数f(x,y)?x?2y?xy在区域D?{(x,y)x?y?4,y?0}上的最大值和最小值。

【分析】 由于D为闭区域,在开区域内按无条件极值分析,而在边界上按条件极值讨论即可。

【详解】 因为

2

2

2

2

2

2

fx?(x,y)?2x?2xy,fy?(x,y)?4y?2x2y,解方程:

2

??fx??2x?2xy?0,

? 得开区域内的可能极值点为(

. 2

?f?4y?2xy?0?

?y

其对应函数值为f(?2.

又当y=0 时,f(x,y)?x在?2?x?2上的最大值为4,最小值为0.

2

2007年考研数一答案篇三:2007年数学一考研试题和答案

北京文登学校 咨询电话:010-62155566、62289409

2007年研究生入学考试数学一试题

一、选择题:1~10小题,每小题4分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. (1)当x?

0?时,与 (A

)1?

(2

(B

)ln

(C

?1 (D

)1?cos [ ]

(A) ] (3圆周,t,

(A)(C) ]

(4)设函数f(x)在x?0处连续,下列命题错误的是: (A)若lim

f(x)xf(x)x

x?0

存在,则f(0)?0 (B)若lim

f(x)?f(?x)

xf(x)?f(?x)

x

x?0

存在,则f(0)?0 . 存在,则f?(0)?0.

(C)若lim

x?0

存在,则f?(0)?0 (D)若lim

x?0

[ ]

(5)设函数f(x)在(0,??)上具有二阶导数,且f??(x)?0,令un?f(n),则下列结论正确的是:

北京文登学校 咨询电话:010-62155566、62289409

(A) 若u1?u2 ,则?un?必收敛. (B) 若u1?u2 ,则?un?必发散

(C) 若u1?u2 ,则?un?必收敛. (D) 若u1?u2 ,则?un?必发散. [ ]

(6)设曲线L:f(x,y)?1(f(x,y)具有一阶连续偏导数),过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ

象限内的点N,T为L上从点M到点N的一段弧,则下列小于零的是 (A)?f(x,y)dx. (B)?f(x,y)dy

T

T

(C)?f(x,y)ds. (D)?fx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy. [ ]

T

T

(7)设向量组?1,?2,?3

(A) ?1??2,?2??3,?3??1

(B) ?1??2,?2??3,?31

(D) ?2?22?3,?32?1 [ ] 10

A ?(C) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1.

?12?1

?1??1

???1,B?0????02??

?2

?

(8)设矩阵A???1

??1?

(A) 合同且相似 .

(C) 不合同,但相似. 既不合同也不相似 [ ] (9)p(0?p?1),则此人第4次射击恰好第2 (A)?p). (B)6p(1?p).

(C)3p (D)6p(1?p) [ ] (10)设随机变量,Y?服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x),fY(y)分别表示

X,Y的概率密度,则在Y?y的条件下,X的条件概率密度fX|Y(x|y)为

2

2

2

2

2

(A) fX(x). (B) fY(y). (C) fX(x)fY(y). (D)

fX(x)fY(y)

. [ ]

二、填空题:11~16小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上. (11)

?

2

1x

2

1

1

xdx? =__________.

北京文登学校 咨询电话:010-62155566、62289409

(12) 设f(u,v)是二元可微函数,z?f(xy,yx),则

?z?x

? __________.

(13) 二阶常系数非齐次微分方程y???4y??3y?2e2x的通解为y?________. (14) 设曲面?:|x|?|y|?|z|?1,则????x?|y|?dS?

?

?0

?0

(15)设矩阵A??

?0??0

1000

0100

0??0

?,则A3的秩为. 1??0?

(16)

(17) (18) 其中?(19)

f(a)?(20) y???2xy??4y?0,y(0)?0,y?(0)?1.

(Ⅰ)证明:an?2?

2n?1

an,n?1,2?;

(II)求y(x)的表达式.

(21) (本题满分11分)

北京文登学校 咨询电话:010-62155566、62289409

?x1?x2?x3?0?

设线性方程组?x1?2x2?ax3?0与方程x1?2x2?x3?a?1有公共解,求a的值及

?2

?x1?4x2?ax3?0

所有公共解.

(22) (本题满分11分)

设三阶对称矩阵A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2,?1?(1,?1,1)T是A的属于?1的一个特征向量,记B?A5?4A3?E,其中E为3阶单位矩阵.

(I)验证?1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (II)求矩阵B. (23) (本题满分11分)

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?2?x?y,?

0,

0x?

,?0y?

1

f(x,y)??(I)求P?X?2Y?;

.

(II) 求Z?X?Y

北京文登学校 咨询电话:010-62155566、62289409

1. 【分析】本题为等价无穷小的判定,利用定义或等价无穷小代换即可.

1?【详解】当x?

0?时,

?

1?

,1?cos?

1

2

2

?

12

x,

故用排除法可得正确选项为(B).

?0

lim?

?lim?

x?0

事实上,lim

x?0

?

?1,

.

【评注 2. 【判断.

【详解】 x? x? b

【评注.

注意当曲线存在水平渐近线时,斜渐近线不存在. 本题要注意e当

x???,x???时的极限不同.

x

类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲第4节【例12】,《数学复习指南》(理工类)第一篇【例6.30】,【例6.31】.

3. 【分析】本题实质上是求分段函数的定积分. 【详解】利用定积分的几何意义,可得 1?1?

F(3)??1?????

22?2?

2

1

2

38

?,F(2)?

12

?2?

2

12

?,

2007年考研数一答案篇四:2007考研数一真题及答案解析

2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析

一、选择题:(本题共10小题,每小题4分,共40分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1) 当x

?0?

等价的无穷小量是 (A) 1?

(B) ln

.

(C) 1.

(D) 1?. [ B ]

【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式,尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量,再进行比较分析找出正确答案.

【详解】 当x

?

0时,有1??

??(?1)~

1~

1?~

(2) 曲线y?

11

2?x. 利用排除法知应选(B). 22

1

?ln(1?ex),渐近线的条数为 x

(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ]

【分析】 先找出无定义点,确定其是否为对应垂直渐近线;再考虑水平或斜渐近线。 【详解】 因为lim[?ln(1?e)]??,所以x?0为垂直渐近线;

x?0

1x

x

又 lim[?ln(1?e)]?0,所以y=0为水平渐近线;

x???

1x

x

y1ln(1?ex)ln(1?ex)ex

]?lim进一步,lim?lim[2?=lim?1, xx???xx???xx???x???xx1?e

x

lim[y?1?x]?lim[?ln(1?e)?x]=lim[ln(1?e)?x]

x???

x???

x???

x?x?x

=lim[lne(1?e)?x]?limln(1?e)?0,

x???

x???

1x

x

于是有斜渐近线:y = x. 故应选(D).

(3) 如图,连续函数y=f(x)在区间[?3,?2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[?2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设F(x)?则下列结论正确的是

?

x

f(t)dt.

35

F(?2). (B) F(3)?F(2). 4435

(C) F(?3)?F(2). (D) F(?3)??F(?2). [ C ]

44

(A) F(3)??

【分析】 本题考查定积分的几何意义,应注意f(x)在不同区间段上的符号,从而搞清

楚相应积分与面积的关系。

【详解】 根据定积分的几何意义,知F(2)为半径是1的半圆面积:F(2)?

1

?, 2

F(3)是两个半圆面积之差:F(3)?

1133

[??12???()2]??=F(2), 2284

3

?3

F(?3)??

?3

f(x)dx???f(x)dx??f(x)dx?F(3)

因此应选(C).

(4) 设函数f(x)在x=0处连续,下列命题错误的是

f(x)f(x)?f(?x)

存在,则f(0)=0. (B) 若lim存在,则f(0)=0.

x?0x?0xx

f(x)f(x)?f(?x)

(C) 若lim存在,则f?(0)存在. (D) 若lim存在,则f?(0)存在

x?0x?0xx

(A) 若lim

[ D ] 【分析】 本题为极限的逆问题,已知某极限存在的情况下,需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。

【详解】 (A),(B)两项中分母的极限为0,因此分子的极限也必须为0,均可推导出f(0)=0. 若lim

x?0

f(x)f(x)?f(0)f(x)

存在,则f(0)?0,f?(0)?lim?lim?0,可见(C)也正确,

x?0x?0xx?0x

故应选(D). 事实上,可举反例:f(x)?x在x=0处连续,且

lim

x?0

x??xf(x)?f(?x)

=lim?0存在,但f(x)?x在x=0处不可导。 x?0xx

(5) 设函数f (x)在(0,??)上具有二阶导数,且f??(x)?0. 令un?f(n)(n?1,2,?,), 则下列结论正确的是

(A) 若u1?u2,则{un}必收敛. (B) 若u1?u2,则{un}必发散.

(C) 若u1?u2,则{un}必收敛. (D) 若u1?u2,则{un}必发散. [ D ]

【分析】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。

【详解】 设f(x)=x, 则f (x)在(0,??)上具有二阶导数,且f??(x)?0,u1?u2,但

2

{un}?{n2}发散,排除(C); 设f(x)=

1

, 则f(x)在(0,??)上具有二阶导数,且x

1

f??(x)?0,u1?u2,但{un}?{收敛,排除(B); 又若设f(x)??lnx,则f(x)在(0,??)上

n

具有二阶导数,且f??(x)?0,u1?u2,但{un}?{?lnn}发散,排除(A). 故应选(D).

(6) 设曲线L:f(x,y)?1(f(x,y)具有一阶连续偏导数),过第II象限内的点M和第IV象限内的点N,T为L上从点M到点N的一段弧,则下列小于零的是

(A) (C)

??

T

f(x,y)dx. (B) f(x,y)ds. (D)

??

T

f(x,y)dy.

fx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy. [ B ]

TT

【分析】 直接计算出四个积分的值,从而可确定正确选项。

【详解】 设M 、N点的坐标分别为M(x1,y1),N(x2,y2),x1?x2,y1?y2. 先将曲线方程代入积分表达式,再计算有:

??

T

f(x,y)dx??dx?x2?x1?0;

T?

T

f(x,y)dy??dy?y2?y1?0;

T

T

T

f(x,y)ds??ds?s?0;

T?

T

fx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy??df(x,y)?0.

故正确选项为(B).

(7) 设向量组?1,?2,?3线性无关,则下列向量组线性相关的是

(A) ?1??2,?2??3,?3??1. (B) ?1??2,?2??3,?3??1.

(C) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. (D) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. [ A ]

【详解】用定义进行判定:令

x1(?1??2)?x2(?2??3)?x3(?3??1)?0,

得 (x1?x3)?1?(?x1?x2)?2?(?x2?x3)?3?0.

?x3?0,?x1    

?

?0, 因?1,?2,?3线性无关,所以 ??x1?x2   

?   ?x2?x3?0.?

1

又 ?1

01?1

?0?0, 1

故上述齐次线性方程组有非零解, 即?1??2,?2??3,?3??1线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的.

?2?1?1??100?

????

(8) 设矩阵A???12?1?, B??010?, 则A与B

??1?12??000?????

(A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .

(C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. [ B ]

【详解】 由|?E?A|?0 得A的特征值为0, 3, 3, 而B的特征值为0, 1, 1,从而A与B不相似.

又r(A)=r(B)=2, 且A、B有相同的正惯性指数, 因此A与B合同. 故选(B) .

(9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0

(A) 3p(1?p). (B) 6p(1?p).

2

2

(C) 3p(1?p). (D) 6p(1?p). [ C ] 【详解】 “第4次射击恰好第2次命中”表示4次射击中第4次命中目标, 前3次射击中有1次命中目标, 由独立重复性知所求概率为:C3p(1?p). 故选(C) .

(10) 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x)fY(y)分别表示X,

1

2

2

2222

Y的概率密度,则在Y=y的条件下,X的条件概率密度fX|Y(x|y)为

(A) fX(x). (B) fY(y). (C ) fX(x)fY(y). (D)

fX(x)

. [ A ] fY(y)

【详解】 因(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,故X与Y相互独立,于是

fX|Y(x|y)=fX(x). 因此选(A) .

二、填空题:(11-16小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上)

(11)

?

2

1

1111

x

dx= e2. 3

2x

1

?tx

【分析】 先作变量代换,再分部积分。 【详解】

?

2

1

1

dx?3x

1x

?

1

23t1

te(?

t

11t

)dt?tedt 12t2

=

1

1

2

tde?te

t112

11

?1edt?e2.

22

1

t

(12) 设f(u,v)为二元可微函数,z?f(x,y),则【详解】 利用复合函数求偏导公式,有

yx

?zy?1x

=f1??yx?f2??ylny. ?x

?zy?1x

=f1??yx?f2??ylny. ?x

2x

(13) 二阶常系数非齐次线性微分方程y???4y??3y?2e

的通解为

y?C1ex?C2e3x?2e2x. 其中C1,C2为任意常数.

【详解】 特征方程为 ??4??3?0,解得?1?1,?2?3. 可见对应齐次线性微分方程y???4y??3y?0的通解为 y?C1e?C2e.

设非齐次线性微分方程y???4y??3y?2e得k= ?2. 故通解为y?C1e?C2e

x

3x

2

x3x

2x

的特解为y?ke,代入非齐次方程可

*2x

?2e2x.

(14) 设曲面?:x?y?z?1,则

(x?|

y|)dS=

?

【详解】 由于曲面?关于平面x=0对称,因此有轮换对称性,于是

xdS=0. 又曲面?:x?y?z?1具

?

(x?|y|)dS=|y|dS=|x|dS=|z|dS=

?

?

?

?

1

(|x|?|y|?|z|)dS 3?

=

11dS??

8? 332?100?

?

010?

, 则A3的秩为1.

001?

?

000??

?0??0(15) 设矩阵A??0??0?

?0??03

【详解】 依矩阵乘法直接计算得 A??

0??0?

001?

?

000?3

, 故r()=1. A?000?

000??

13

(16) 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于的概率为.

24

【详解】 这是一个几何概型, 设x, y为所取的两个数, 则样本空间

??{(x,y)|0?x,y?1}, 记A?{(x,y)|(x,y)??,|x?y|?.

SAS?

1

2

故 P(A)?

3

3

??,其中SA,S?分别表示A与? 的面积. 14

三、解答题:(17-24小题,共86分. ) (17) (本题满分11分)

2222

求函数f(x,y)?x?2y?xy在区域D?{(x,y)x?y?4,y?0}上的最大值和

2

2

最小值。

【分析】 由于D为闭区域,在开区域内按无条件极值分析,而在边界上按条件极值讨论即可。

【详解】 因为

fx?(x,y)?2x?2xy2,fy?(x,y)?4y?2x2y,解方程:

2

??fx??2x?2xy?0,

? 得开区域内的可能极值点为(

. 2

?f?4y?2xy?0?

?y

其对应函数值为f(?2.

又当y=0 时,f(x,y)?x在?2?x?2上的最大值为4,最小值为0.

2

2007年考研数一答案篇五:07考研数一真题及答案

2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析

一、选择题:(本题共10小题,每小题4分,共40分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (2) 曲线y?

1x

?ln(1?e),渐近线的条数为_______

1x

?ln(1?e)]??,所以x?0为垂直渐近线;

x

x

【详解】 因为lim[

x?0

又 lim[

x???

1x

?ln(1?e)]?0,所以y=0为水平渐近线;

x

进一步,lim

yx

x???

?lim[

x???

1x

2

?

ln(1?e)

x

x

]?lim

x

ln(1?e)

x

x

x???

=lim

e

xx

x???

1?e

?1,

1?] limy[??x

x???

1

lm?[x???x

?x

?eln(?1x=lim)[ln(1]?e)?x]

x????x

x

=lim[lne(1?e)?x]?limln(1?e)?0,

x???

x???

x

于是有斜渐近线:y = x. 故3条 ?2

?

(8) 设矩阵A???1

??1?

?12?1

?1??1???1?, B??0

?02???

010

0?

?

0?, 则A与B_______(填是否合同,相0??

似)

【详解】 由|?E?A|?0 得A的特征值为0, 3, 3, 而B的特征值为0, 1, 1,从而A与B不相似.

又r(A)=r(B)=2, 且A、B有相同的正惯性指数, 因此A与B合同.

二、填空题:(11-16小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上)

(11)

?

2

1x

3

1

1

xdx=_______

【分析】 先作变量代换,再分部积分。

1

【详解】 ?

2

1x

3

1x

x

?t

1

1

dx?

?

1

2

1

te(?

3t

1t

2

)dt?

?

t

112

tedt

1

t

=?1tde?te

2

t

t112

?

?

112

edt?

12

e2.

?z?x

(12) 设f(u,v)为二元可微函数,z?f(x,y),则【详解】 利用复合函数求偏导公式,有

?z?x

yx

=_______

y?1x

=f1??yx?f2??ylny.

(13) 二阶常系数非齐次线性微分方程y???4y??3y?2e

2x

的通解为_______ 其中

C1,C2为任意常数.

【详解】 特征方程为 ?2?4??3?0,解得?1?1,?2?3. 可见对应齐次线性微分方程y???4y??3y?0的通解为 y?C1ex?C2e3x.

设非齐次线性微分方程y???4y??3y?2e2x的特解为y*?ke2x,代入非齐次方程可得k= ?2. 故通解为y?C1ex?C2e3x?2e2x.

(14) 设曲面?:x?y?z?1,则(x?|y|)dS= _______

?

【详解】 由于曲面?关于平面x=0对称,因此xdS=0. 又曲面?:x?y?z?1具

?

有轮换对称性,于是

?

(x?|y|)dS=|y|dS=|x|dS=|z|dS=

?

?

?

13

(|x|?|y|?|z|)dS

?

=

13

?

dS?

13

?8?

32

?0?0

(15) 设矩阵A??

?0??0?

1000

0100

0??0?

, 则A3的秩为_______. 1??0??

?0

??03

【详解】 依矩阵乘法直接计算得 A??

0??0?

0000

0000

1??0?

, 故r(A3)=1. ?0?0??

三、解答题:(17-24小题,共86分. ) (17) (本题满分11分)

求函数f(x,y)?x?2y?xy在区域D?{(x,y)x2?y2?4,y?0}上的最大值和最小值。

【分析】 由于D为闭区域,在开区域内按无条件极值分析,而在边界上按条件极值讨论即可。

【详解】 因为

2

fx?(x,y)?2x?2xy,fy?(x,y)?4y?2xy,解方程: 2

2

2

2

2

??fx??2x?2xy?0,

?

得开区域内的可能极值点为(.

2

?f?4y?2xy?0??y

其对应函数值为f(?2.

又当y=0 时,f(x,y)?x2在?2?x?2上的最大值为4,最小值为0. 当x2?y2?4,y?0,?2?x?2,构造拉格朗日函数 F(x,y?,?)

2

x?2y?

22

x?y?

2

(?x

2

2

?y 4)

?Fx??2x?2xy2?2?x?0,?

解方程组 ?Fy??4y?2x2y?2?y?0,

得可能极值点:(0,2),(???x2?y2?4?0,F??

,其对应函

数值为f(0,2)?8,f(比较函数值2,0,4,8,

74

?

74

.

,知f(x, y)在区域D上的最大值为8,最小值为0.

(18) (本题满分10分) 计算曲面积分 I?

??

?

xzdyd?2z

2

zyd?z3dxx ,ydxdy

其中?为曲面z?1?x?

2

y

4

(0?z?1)的上侧。

【分析】 本题曲面?不封闭,可考虑先添加一平面域使其封闭,在封闭曲面所围成的

区域内用高斯公式,而在添加的平面域上直接投影即可。

【详解】 补充曲面:?1:x?

I?

2

y

2

4

?1,z?0,取下侧. 则

??

???1

xzdydz?2zydzdx?3xydxdy???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy

?1

=???(z?2z)dxdydz?

?

??3xydxdy

D

2

其中?为?与?1所围成的空间区域,D为平面区域x? 由于区域D关于x轴对称,因此??3xydxdy?0. 又

D

1

y

2

4

?1.

???(z?2z)dxdydz?3???zdxdy=3?zdz??dxdy?3?z?2?(1?z)dz??.

?

?

Dz

1

其中Dz:x?

2

y

2

4

?1?z.

(19) (本题满分11分)

设函数f(x), g(x)在[a, b]上连续,在(a, b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),

f(b)=g(b), 证明:存在??(a,b),使得f??(?)?g??(?).

【分析】 需要证明的结论与导数有关,自然联想到用微分中值定理。事实上,若令

F(x)?f(x)?g(x),则问题转化为证明F??(?)?0, 只需对F?(x)用罗尔定理,关键是找

到F?(x)的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点),而利用F(a)=F(b)=0, 若能再找一点c?(a,b),使得F(c)?0,则在区间[a,c],[c,b]上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点,再对F?(x)用罗尔定理即可。

【证明】 构造辅助函数F(x)?f(x)?g(x),由题设有F(a)=F(b)=0. 又f(x), g(x)在(a, b)内具有相等的最大值, 不妨设存在x1?x2, x1,x2?(a,b)使得

f(x1)?M?maxf(x),g(x2)?M?maxg(x),

[a,b]

[a,b]

若x1?x2,令c?x1, 则F(c)?0.

若x1?x2,因F(x1)?f(x1)?g(x1)?0,F(x2)?f(x2)?g(x2)?0,从而存在

c?[x1,x2]?(a,b),使F(c)?0.

在区间[a,c],[c,b]上分别利用罗尔定理知,存在?1?(a,c),?2?(c,b),使得

F?(?1)?F?(?2)?0.

再对F?(x)在区间[?1,?2]上应用罗尔定理,知存在??(?1,?2)?(a,b),有

F??(?)?0, 即 f??(?)?g???(

.)

(20) (本题满分10分)

?

设幂级数?anxn在(??,??)内收敛,其和函数y(x)满足

n?0

y???2xy??4y?0,y(0)?0,y?(0)?1.

(I) 证明:an?2?

2n?1

an,n?1,2,?;

(II) 求y(x)的表达式.

【分析】 先将和函数求一阶、二阶导,再代入微分方程,引出系数之间的递推关系。

?

?

n

?

n

【详解】 (I)记y(x)=?anx, 则y??

n?0

?na

n?1

x

n?1

,y???

?n(n?1)a

n?2

n

x

n?2

,代入微分方程

y???2xy??4y?0,有

?

?

?

n

n

?n(n?1)a

n?2?

xn

n?2

?2?nanx?4?anx?0,

n?1

n?0

?

?

?(n?

n?0

2)n(?

1a)n?2

n

x?

?2

n?0

n

nnax?

n

?4

n?0

n

n

ax? 0,

故有 (n?2)n(?1a)?n?2即 an?2?

2n?1

n2na?

4a? 0,

an,n?1,2?, ;

(II) 由初始条件y(0)?

an?2?

2n?1

0y?,1n!

(?0)知,a0?0,a1?1. 于是根据递推关系式. 故

?

an, 有a2n?0,a2n?1?

?

n

?

2n?1

y(x)=?anx =?a2n?x

n?0

n?0

?

?n!

n?0

1

?

x

2n?1

=x?

n?0

1n!

(x)?xe.

2nx

2

(21) (本题满分11分)

设线性方程组

?x1?x2?x3?

?x1?2x2?ax3

?x?4x?a2x

23?1

?0,

?0, ① ?0

与方程

x1?2x2?x3?a?1 ②

有公共解,求a的值及所有公共解.

【分析】 两个方程有公共解就是①与②联立起来的非齐次线性方程组有解.

【详解】 将①与②联立得非齐次线性方程组:

?0,?x1?x2?x3

?

?0,?x1?2x2?ax3

③ ?2

x?4x?ax?0,23?1

?x?2x?x  ?a?1.23?1

若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解. 对③的增广矩阵A作初等行变换得:

?1

??1

A??

1??1?

1242

1aa

2

1

0??1??0??0

??0?0??

?0a?1???

1100

1a?1(a?2)(a?1)

1?a

0?

?0?

. 0??a?1??

2007年考研数一答案篇六:2007年全国硕士研究生入学考试数学一真题及答案详解

2007年考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话:62701055 网管电话:62780661-433

硕士研究生入学考试

2007数一、数二、数三、数四试题完整版

试题评析与详解

1.试题源于网上资料的整理与摘编,所有试题以国家正式公布的版本为准。

2.2007数一、二、三、四试题共用题达到空前比例。

结论:四个试卷难易程度趋于相同。

3.四个试卷特点进一步反映了水木艾迪教学辅导中强调的:重在基本概念的理解与基本计算的过硬。考研数学考的是数学,并非物理(物理应用题目趋于淡化),更非经济(数三、四试卷中具有经济内容的题目趋于淡化),更确切说考研数学是考大学理工类数学三个学科。

4.这里提供的试题评析与详解,是由水木艾迪考研数学命题研究中心的老师(清华教学科学系教师)对试题进行全面整编和分析,对许多题目,提供多个解法,分析考点及知识点的交叉运用。

希望这份资料对2008年考生提供重要参考与帮助。

限于时间,且没得到官方正式版本,文内疏忽与错误在所难免,敬请读者批评指正。

参与编写的老师为: 刘坤林 谭泽光 俞正光 叶俊 葛余博 章纪民 均为清华大学数学科学系教授

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2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

试题详解与评析 水木艾迪考研命题研究中心

一、 选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的 四个选项中,只

有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内) (1)当x→0+时,与x等价的无穷小量是 (A)1?e

(B)ln

1+x

(C)+x?1 (D)1?cosx

1?x

x。

【解】 答案B。ln

1+x1+x

=x+o(x)+x+o(x)=x+o(x),因此ln~1?x1?x

考点:泰勒公式与等价无穷小量的正确运用,水木艾迪辅导的星级考点。参见水木艾迪考研

数学36计例1-1,1-2,1-3等题目。 (2)曲线y=

1

+ln(1+ex),渐近线的条数为 x

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

【解】答案D。垂直渐近线x=0,水平渐近线y=0(x→?∞),斜渐近线y=x(x→+∞)。考点:渐近线的实质是极限问题,应从单侧极限入手考察单侧渐近线的存在性。参见

水木艾迪考研数学36计例5-10,基础班讲义例4-24,强化班第2讲例43。

(3)如图,连续函数y=f(x)在区间[?3,?2],[2,3]上的图像分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[?2,0],[0,2]上的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设F(x)=下列结论正确的是

x

f(t)dt,则

35

F(?2) (B)F(3)=F(2) 4435

(C)F(?3)=F(2) (D)F(?3)=?F(?2)

44

(A)F(3)=?

【解】答案C。利用积分的几何意义,并注意代数面积的概念(水木艾迪辅导的星级考点)。 (4)设函数f(x)在x=0处连续,下列命题错误的是 (A)若lim

f(x)f(x)+f(?x)=0,则f(0)=0 (B)若lim=0,则f(0)=0

x→0x→0xx

f(x)f(x)?f(?x)

(C)若lim存在,则f′(0) 存在 (D)若lim存在,则f′(0)存在

x→0x→0xx

【解】答案D。

考点:点连续概念,导数定义,无穷小量比阶的概念与极限运算法则。(D)的成立不一定保证导致可导的两个极限存在。

(5)设函数f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数,且f′′(x)>0,令un=f(n)=1,2,Ln,则下

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列结论正确的是

(A)若u1>u2,则{un}必收敛 (B)若u1>u2,则{un}必发散 (C)若u1

u1c>0,其中c是某个确定的正数,于是存在ξ1∈(1,2)使得

u2?u1f(2)?f(1)

==f′(ξ1)>c>0, 2?12?1

对任意x∈(ξ1,+∞),由f′′(x)>0,f′(x)单调增加, 得到f′(x)>f′(ξ1)>c>0,于是又存在ξ2∈(ξ1,x)使得f(x)=f(ξ1)+f′(ξ2)(x?ξ1)→+∞(x→+∞)。

考点:用Lagrange定理分析函数性质是水木艾迪考研数学强调的星级考点。参见水木艾迪考

研数学36计例5-3,基础班讲义例4-42,例4-43,强化班第2讲例28。

(6)设曲线L:f(x,y)=1(f(x,y)具有一阶连续偏导数),过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,T为L上从点M到点N的一段弧,则下列小于零的是 (A)(C)

∫∫

T

f(x,y)dx (B)∫f(x,y)dy

T

T

f(x,y)ds (D)∫fx′(x,y)dx+fy′(x,y)dy

T

【解】答案:(B)

解释:(A)曲线过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,T为L上从点M到点N的一段弧,

T

f(x,y)dx=∫1dx=x(N)?x(M)>0,其中x(M),x(N)分别表示M,N的x坐标。

T

(B)f(x,y)dy=

T∫其中y(M),y(N)分别表示M,N的y坐标。 ∫1dy=y(N)?y(M)<0:

TT

(C)(D)

T

f(x,y)ds=∫1ds=弧长>0

fx′(x,y)dx+fy′(x,y)dy∫0dx+0dy=0

T

T

考点:第一类、第二类曲线积分的概念。参见水木艾迪考研数学2007模拟试题一套数一5题。水木艾迪考研数学36计之19。

(7)设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是 (A)α1?α2,α2?α3,α3?α1 (B)α1+α2,α2+α3,α3+α1 (C)α1?2α2,α2?2α3,α3?2α1 (D)α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1 【解】答案A。

因为(α1?α2)+(α2?α3)+(α3?α1)=0,所以α1?α2,α2?α3,α3?α1线性相关。

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考点:线性相关与线性无关的概念。参考:水木艾迪强化班向量例17。

?2?1?1??1???

(8)设矩阵A=??12?1?,B=?0

??1?12??0???

10

0??

0?,则A与B 0??

(A)合同,且相似 (B)合同,但不相似

(C)不合同,但相似 (D)既不合同,也不相似 【解】答案B。

因为A的特征值为3,3,0,所以A和B不相似。又A和B的秩都为2且正惯性指数也都为2,所以A和B合同。

考点:矩阵的相似与合同概念,相似矩阵的性质,合同矩阵的性质,惯性定理等。

参考:水木艾迪基础班二次型例2例3。强化班二次型例2,冲刺班特征值例35。36计之例23-5。

(9)某人向统一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0<>

(A) 3p(1?p) (B) 6p(1?p) (C) 3p(1?p) (D) 6p(1?p) 【解析与点评】P{第4次射击恰好第2次命中目标}

=P{第4次射击命中,且前3次中恰好命中1次}

1

=p?C3p(1?p)2=3p2(1?p)2

222222

故选C。

本题是Bernoulli试验中的典型问题,可参见水木艾迪2006考研数学基础班讲义例1.33,强化班第一讲问题7,考研36技之例29-25等题目和内容。

(10) 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x),fY(y)分别表示X,

Y的概率密度,则在Y=y的条件下,X的条件概率密度fXY(xy)为( A )。

(A)fX(x) (B) fY(y) (C) fX(x)fY(y) (D)

fX(x)

fY(y)

【解析与点评】由于(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,所以X与Y相互独立,从而fXY(xy)=

f(x,y)

=fX(x),故选A.

fY(y)

本题主要考查了二维正态分布的不相关性与独立性的等价关系,属于最基本的内容。

二、填空题:11-16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上。 (11)

2

1

1x

dx=__________。 x2

1

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【解】

2

1

11dx=?ed=e∫1x2x

2

1

x1x

11x2

1

=e2。 2

1

考点:水木艾迪考研数学强调:凑微分法是处理积分问题最重要的基础。 (12) 设f(u,v)是二元可微函数,z=f(,),则x

yxxy?z?z?y=__________。 ?x?y

【解】答案:?fu′

yxyx

+fv′?fu′+fv′ xyxy

?1??z?x??z??y??1?′′?,=fu′?2?+fv′?=f+f??uv??y??y??y2?? x?xx????????x

?z?zyxyx?y=?fu′+fv′?fu′+fv′ ?x?yxyxy

?yx?

′′=?2?f?f?v?ux? y??

考点:具有抽象函数记号的多元复合函数的偏导数计算,这是一道很单纯的题目,参见水木

艾迪基础班第10讲19题。

(13)二阶常系数非齐次线性微分方程y′′?4y′+3y=2e【解】齐次解为y=C1e+C2e

x

3x

2x

的通解为y=__________。

2x

,设特解为y=Ae

,由待定系数法得到

4Ae2x?8Ae2x+3Ae2x=2e2x,A?2, 答案:y=C1ex+C2e3x?2e2x。

。这是 考点:常规的二阶常系数非齐次线性微分方程解法( 非齐次项为Pn(x)eαx型)的求解)水木艾迪考研数学强调的星级考点之一,有关处理方法及相同例题参见强化班第8讲例6、7、

8、9、10等题目,水木艾迪考研数学36计之11计的说明与例题。 (14)设曲面Σ:x+y+z=1,则

(x+y)dS=____________。

Σ

【解】(方法1)由域与被积函数的对称性有:

xdS=0,y=x=z

1

(x+y)dS=y=(y+x+z 3∑∑∑∑∑

=

1184

++==?=()xyzdSdS 33323∑∑

(方法2)利用物理意义

2007年考研数一答案篇七:2007考研数一真题及解析

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、选择题:110小题,每小题4分,共40分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1) 当x?

0( )

?

A

.1?

B(2) 曲线y?

C1

D.1?c

1

?ln(1?ex)渐近线的条数为( ) x

A. 0 B.1 C.2 D.3

(3) 如图,连续函数y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间

下半圆周,设F(x)??f(t)dt,则下列结论正确的是( ) ??2,0?,?0,2?上图形分别是直径为2的上、

0x

35

A.F(3)??F(?2) B.F(3)?F(2)

4435

C.F(?3) ?F(2) D.F(?3)??F(?2)

44

(4) 设函数f(x)在x?0连续,则下列命题错误的是( )

f(x)f(x)?f(?x)存在,则f(0)?0 B.若lim存在,则f(0)?0

x?0x?0xx

f(x)f(x)?f(?x)

C.若lim存在,则f?(0)存在 D.若lim存在,则f?(0)存在

x?0x?0xxA.若lim

(5) 设函数f(x)在(0,??)上具有二阶导数,且f??(x)?0,令un?f(n)(n?1,2,)是( )

,则下列结论正确的

A. 若u1?u2,则?un?必收敛 B. 若u1?u2,则?un?必发散 C. 若u1?u2,则?un?必收敛 D. 若u1?u2,则?un?必发散

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1

(6) 设曲线L:f(x,y)?1(f(x,y)具有一阶连续偏导数)过第Ⅱ象限内的点M和第IV象限内的点N,?

为L上从点M到点N的一段弧,则下列积分小于零的是( )

A.

?

?

?

f(x,y)dx B.

?

?

f(x,y)dy

C.

?

f(x,y)ds D.

?

?

fx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy

(7) 设向量组?1,?2,?3线性无关,则下列向量组线性相关的是( )

A.?1??2,?2??3,?3??1 B.?1??2,?2??3,?3??1

C.?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1 D.?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1

?2?1?1??100?????(8) 设矩阵A??12?1,B?010,则A与B( ) ????????1?12???000??

A. 合同,且相似 B. 合同,但不相似

C. 不合同,但相似 D. 既不合同,也不相似

(9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0?p?1),则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )

A.3p(1?p)2 B.6p(1?p)2

C.3p2(1?p)2 D.6p2(1?p)2

(10) 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度,则在Y?y条件下,X的条件概率密度fX(xy)为( )

A.fX(x) B.fY(y)

C.fX(x)fY(y) D.

fX(x)

fY(y)

二、填空题:11-16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上. (11)

?

2

1

11

xdx?_________ 3x

?z

?______ ?x

2

yx

(12) 设f(u,v)为二元可微函数,z?f(x,y),则

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(13) 二阶常系数非齐次线性微分方程y???4y??3y?2e2x的通解为y?_____ (14) 设曲面?:x?y?z?1,则

??(x?y)dS?_____

?

?0?0?(15) 设距阵A??0??0100?

?010?

,则A3的秩为_____

001?

?000?

1

的概率为______ 2

(16) 在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两数之差的绝对值小于

三、解答题:17-24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17)(本题满分10分)

求函数f(x,y)?x2?2y2?x2y2,在区域D?(x,y)x?y?4,y?0上的最大值和最小值.

(18)(本题满分11分)

?

22

?

y2

(0?z?1)的上侧. 计算曲面积分 I???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy, 其中?为曲面z?1?x?4?

2

(19)(本题满分11分)

设函数f(x),g(x)在?a,b?上连续,在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值,又f(a)=g(a),

f(b)=g(b),证明:存在??(a,b),使得f''(?)?g''(?).

(20)(本题满分10分)

设幂级数

?ax

nn?0

?

n

在(??,??)内收敛,其和函数y(x)满足y???2xy??4y?0,y(0)?0,y?(0)?1

(I) 证明an?2?

2

an,n?1,2,n?1

(II) 求y(x)的表达式

(21)(本题满分11分)

?x1?x2?x3?0?

设线性方程组?x1?2x2?ax3?0 (1)

?2

?x1?4x2?ax3?0

与方程 x1?2x2?x3?a?1

(2)

3

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有公共解,求a得值及所有公共解.

(22)(本题满分11分)

设3阶实对称矩阵A的特征值?1?1,?2?2,?3??2,?1?(1,?1,1)T是A的属于?1的一个特征向量,记B?A?4A?E,其中E为3阶单位矩阵.

(I) 验证?1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (II) 求矩阵B.

(23)(本题满分11分)

5

3

?2?x?y,

f(x,y)?设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ?

?0,

(I) 求P?X?2Y?;

(II) 求Z?X?Y的概率密度fZ(z).

(24)(本题满分11分)

设总体X的概率密度为

0?x?1,0?y?1.其他

?1?2?,??1

f(x;?)??,

2(1??)??0,??

0?x??,

??x?1,.

其他

其中参数?(0???1)未知,X1,X2,...Xn是来自总体X的简单随机样本,X是样本均值.

(I) 求参数?的矩估计量?;

(II) 判断4X是否为?的无偏估计量,并说明理由.

2

2

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

一、选择题 (1)【答案】B 【详解】

方法1:排除法:由几个常见的等价无穷小,当x?0时,

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x

e?1x1

1xx;1?cosx?2sin222

x

2x2

2()?,当x?0

??0,所以22

1

2,可以排除A、C、D,所以选(B). 2

1?方法2: (1

1?

??ln[1

?

?

当x?

时,11?0,又因为

x?0时,ln?1?x?

x

所以ln[1?

~~x?

1~(B).

?

方法3

:limx?0?

??lim lim

?x?0?x?0?

?lim?

x?0

1??lim?

x?

1?x

1?x

?

A?,则A

1?B?1?x??4x?2

1?x?对应系数相等得:A?

?B?1,所以

原式?lim?

x?0

1?

x

?lim?

x?0???lim?

x?0

lim?0?1?1,选(B). ?

x?0

(2)【答案】D

【详解】因为limy?lim?

x?0

1?1?

?ln(1?ex)??lim?limln(1?ex)??,

x?0x??x?0xx?0

所以x?0是一条铅直渐近线;

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5

2007年考研数一答案篇八:07年考研数一及解析

2007年数学一试题分析详解

一、选择题:(本题共10小题,每小题4分,共40分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当x?

0?(A)

1?

(B) ln

(C)

1.

(D) 1?cos. 【 】

【答案】 应选(B).

【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式,尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量,再进行比较分析找出正确答案.

【详解】当x?

0?时,有1?1?cos

~

12

2

??(12

?1)~

1~

?x. 利用排除法知应选(B).

【评注】

本题直接找出ln

但由于另三个的等价无穷小

很容易得到,因此通过排除法可得到答案。事实上,

x?0

1?x?lim?

x?0

lim?

2t

?

1

t

lim?

t?0

ln(1?t)?ln(1?t)

t

2

=lim?t?0

2

?lim2t(1?t)?1?t?1.

2?

t?01(1?t)(1?t)

2

(2)曲线y?

1x

?ln(1?e),渐近线的条数为

x

(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【 】

【答案】 应选(D).

【分析】 先找出无定义点,确定其是否为对应垂直渐近线;再考虑水平或斜渐近线。 【详解】 因为lim[

x?0

1x

?ln(1?e)]??,所以x?0为垂直渐近线;

x

又 lim[

x???

1x

?ln(1?e)]?0,所以y=0为水平渐近线;

x

进一步,lim

yx

x???

?lim[

x???

1x

2

?

ln(1?e)

x

x

]?lim

ln(1?e)

x

x

x???

=lim

e

xx

x???

1?e

?1,

limy[??1x?]

x???

1

l?[x???x

?x

?len(?1x=lim)[ln(1]?e)?x]

x???

?x

xx

=lim[lne(1?e)?x]?limln(1?e)?0,

x???

x???

x

于是有斜渐近线:y = x. 故应选(D).

【评注】 一般来说,有水平渐近线(即limy?c)就不再考虑斜渐近线,但当limy不

x??

x??

存在时,就要分别讨论x???和x???两种情况,即左右两侧的渐近线。本题在x<0 的一侧有水平渐近线,而在x>0的一侧有斜渐近线。关键应注意指数函数ex当x??时极限不存在,必须分x???和x???进行讨论。

(3)如图,连续函数y=f(x)在区间[?3,?2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[?2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周,设F(x)?下列结论正确的是

(A) F(3)??(C) F(?3)?

34

34

F(?2). (B) F(3)?

54

F(2). 54

F(?2). 【 】

x0

?

f(t)dt.则

F(2). (D) F(?3)??

【答案】 应选(C).

【分析】 本题考查定积分的几何意义,应注意f(x)在不同区间段上的符号,从而搞清楚相应积分与面积的关系。

【详解】 根据定积分的几何意义,知F(2)为半径是1的半圆面积:F(2)?F(3)是两个半圆面积之差:F(3)?

F(?3)?

1

0?3

12

?,

12332

[??1???()]??=F(2), 2284

?

?30

f(x)dx???

f(x)dx?

?

30

f(x)dx?F(3)

因此应选(C).

【评注1】 本题F(x)由积分所定义,应注意其下限为0,因此 F(?2)?

?2

0?2

?

f(x)dx?

?

?f(x)dx,也为半径是1的半圆面积。可知(A) (B) (D)均不成立.

【评注2】若试图直接去计算定积分,则本题的计算将十分复杂,而这正是本题设计的

巧妙之处。

(4)设函数f(x)在x=0处连续,下列命题错误的是: (A) 若lim

f(x)

x?0

(C) 若lim

xf(x)x

存在,则f(0)=0. (B) 若lim

f(x)?f(?x)x

f(x)?f(?x)

x

存在,则f(0)=0. 存在,则f?(0)存在

【 】

x?0

x?0

存在,则f?(0)存在. (D) 若lim

x?0

【答案】 应选(D).

【分析】 本题为极限的逆问题,已知某极限存在的情况下,需要利用极限的四则运算

等进行分析讨论。

【详解】(A),(B)两项中分母的极限为0,因此分子的极限也必须为0,均可推导出f(0)=0. 若lim

f(x)x

x?0

存在,则f(0)?0,f?(0)?lim

f(x)?f(0)

x?0

x?0

?lim

f(x)x

x?0

?0,可见(C)也正确,

故应选(D). 事实上,可举反例:f(x)?x在x=0处连续,且

f(x)?f(?x)

x

lim

x?0

=lim

x??xx

x?0

?0存在,但f(x)?x在x=0处不可导。

(5)设函数f (x)在(0,??)上具有二阶导数,且f??(x)?0. 令un?f(n)(n?1,2,?,), 则下列结论正确的是:

(A) 若u1?u2,则{un}必收敛. (B) 若u1?u2,则{un}必发散.

(C) 若u1?u2,则{un}必收敛. (D) 若u1?u2,则{un}必发散. 【 】

【答案】 应选(D).

【分析】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。

【详解】 设f (x)=x2, 则f (x)在(0,??)上具有二阶导数,且f??(x)?0,u1?u2,但

{un}?{n}发散,排除(C); 设f(x)=

2

1x

, 则f (x)在(0,??)上具有二阶导数,且

1

{收敛,f??(x)?0,u1?u2,但{un}?排除(B); 又若设f(x)??lnx,则f(x)在(0,??)上n

具有二阶导数,且f??(x)?0,u1?u2,但{un}?{?lnn}发散,排除(A). 故应选(D).

【评注】也可直接证明(D)为正确选项. 若u1?u2,则存在k?0,使得u2?u1?k?0. 在区间[1,2]上应用拉格朗日中值定理, 存在?1?(1,2)使得

u2?u12?1

?

f(2)?f(1)2?1

?f?(?1)?k?0,

又因为在(0,??)上f??(x)?0, 因此f?(x)在(?1,??)上单调增加,于是对?x?(?1,??)有

f?(x)?f?(?1)?k?0.

在区间[?1,x]上应用拉格朗日中值定理, 存在?2?(?1,x)使得

f?(1)??f?(2

f(x)?f(?1)

x??1

?f?(?2),

即 f(x)?故应选(D).

)x(??1

?)??,x(?? ?)

(6)设曲线L:f(x,y)?1(f(x,y)具有一阶连续偏导数),过第II象限内的点M和第IV象限内的点N,T为L上从点M到点N的一段弧,则下列小于零的是

(A)

?

T

f(x,y)dx. (B) f(x,y)ds. (D)

??

T

f(x,y)dy.

fx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy. 【 】

(C)

?

TT

【答案】 应选(B).

【分析】 直接计算出四个积分的值,从而可确定正确选项。

【详解】 设M 、N点的坐标分别为M(x1,y1),N(x2,y2),x1?x2,y1?y2. 先将曲线方程代入积分表达式,再计算有:

??

T

f(x,y)dx?f(x,y)ds?

??

T

dx?x2?x1?0; ds?s?0;

?

T

f(x,y)dy?

?

T

dy?y2?y1?0;

TT

?

T

fx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy?

?

T

df(x,y)?0.

故正确选项为(B).

【评注】 对于线、面积分,应尽量先将线、面方程代入被积表达式化简,然后再积分.

(7) 设向量组?1,?2,?3线性无关,则下列向量组线性相关的是

(A) ?1??2,?2??3,?3??1. (B) ?1??2,?2??3,?3??1.

(C) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. (D) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. 【 】 【答案】应选(A) .

【详解1】直接可看出(A)中3个向量组有关系 (?1??2)?(?2??3)??(?3??1), 即(A)中3个向量组有线性相关, 所以选(A) . 【详解2】用定义进行判定:令

x1(?1??2)?x2(?2??3)?x3(?3??1)?0,

得 (x1?x3)?1?(?x1?x2)?2?(?x2?x3)?3?0. ?x3?0,?x1    

?

?0, 因?1,?2,?3线性无关,所以 ??x1?x2   

?   ?x2?x3?0.?

1

01?1

?1

0?0, 1

又 ?1

故上述齐次线性方程组有非零解, 即?1??2,?2??3,?3??1线性相关. 类似可得(B), (C),

(D)中的向量组都是线性无关的.

这是一个基本题,完全类似的问题见《经典讲义》P314例3.5和辅导班上对应章节的例题 ?2?

(8) 设矩阵A???1

??1?

?12?1

?1??1???1?, B??0

?02???

010

0?

?

0?, 则A与B 0??

(A)合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .

(C)不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. 【 】

【答案】应选 (B) .

【详解】 由|?E?A|?0 得A的特征值为0, 3, 3, 而B的特征值为0, 1, 1,从而A与B不相似.

又r(A)=r(B)=2, 且A、B有相同的正惯性指数, 因此A与B合同. 故选(B) .

【评注】1)若A与B相似, 则| A |=| B |;r(A)= r(B);tr(A)= tr(B); A与B有相同的特征值. 2)若A、B为实对称矩阵, 则A与B合同? r(A)= r(B), 且A、B有相同的正惯性指数. 完全类似的问题见《历年真题(一)》P307的小结

(9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0

(A) 3p(1?p)2. (B) 6p(1?p)2.

(C) 3p2(1?p)2. (D) 6p2(1?p)2. 【 】 【答案】应选 (C) .

【详解】“第4次射击恰好第2次命中”表示4次射击中第4次命中目标, 前3次射击中有1次命中目标. 由独立重复性知所求概率为:C3p(1?p). 故选(C) .

(10) 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x)fY(y)分别表示X,Y的概率密度,则在Y=y的条件下,X的密度fX|Y(x|y)为

fX(x)fY(y)

1

2

2

(A) fX(x). (B) fY(y). (C ) fX(x)fY(y). (D) 【答案】应选 (A) .

. 【 】

【详解】因(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,故X与Y相互独立,于是

fX|Y(x|y)=fX(x). 因此选(A) .

【评注】对于二维连续型随机变量(X,Y),有

X与Y相互独立? f (x, y)=fX(x)fX(y)?fX|Y(x|y)=fX(x)?fY|X(y|x)=fY(y).

二、填空题:(11-16小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上.)

2007年考研数一答案篇九:考研数三完整版(历年真题+答案详解)之_2007年真题

2007年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一.选择题(本题共10分小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在后边的括号内) (1) 当x?

0 )

?

A

.1?

B.ln? )

C1

D.1?c

(2) 设函数f(x)在x?0处连续,下列命题错误的是: ( )

f(x)f(x)?f(?x)

存在,则f(0)?0 B.若lim存在,则f(0)?0

x?0x?0xx

f(x)f(x)?f(?x)

C..若lim存在,则f'(0)存在 D.若lim存在,则f'(0)存在

x?0x?0xxA.若lim

(3) 如图.连续函数y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间??2,0?,?0,2?上图形分别是直径为2的上、下半圆周,设F(x)?则下列结论正确的是:( )

?

x

f(t)dt,

35

A..F(3)??F(?2) B.F(3)?F(2)

4435

C.F(?3) ??F(2) D.F(?3)?F(?2)

44

(4) 设函数f(x,y)连续,则二次积分

??

?

2

dx?

1

sinx

f(x,y)dy等于( )

?

A. C.

?

10

1

dy?

2

?

??arcsinx

f(x,y)dx B.

f(x,y)dx D.

?

?

1

dy?

??arcsiny

??arcsiny

f(x,y)dx

f(x,y)dx

?dy?

??arcsiny1

dy?

2

(5) 设某商品的需求函数为Q?160?2?,其中Q,?分别表示需要量和价格,如果该

商品需求弹性的绝对值等于1,则商品的价格是( )

A. 10 B. 20 C.30 D.40

(6) 曲线y?

1

?ln(1?ex),渐近线的条数为( ) x

A. 0 B.1 C.2 D.3

( )

(7)设向量组线性无关

(A)?1??2,?2??1,?3??1 (B)?2??1,?2??3,?3??1 (C)?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1 (D)?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1

?2?1?1??100?????

(8)设矩阵A???12?1?,B??010?则A与B( )

??1?12??000?????

(A)合同,且相似 (B) 合同,但不相似

(C) 不合同,但相似 (D) 既不合同,也不相似

(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )

(A)3p(1?p)2 (B)6p(1?p)2 (C)3p2(1?p)2 (D)6p2(1?p)2

(10) 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fx(x),fy(y)分别表示X, Y的概率密度,则在Y?y条件下,X的条件概率密度fX(xy)为( ) (A)fX(x) (B)fy(y) (C)fx(x)fy(y) (D)

fx(x)

fy(y)

二、填空题:11-16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上

x3?x2?1

(sinx?cosx)?________. (11)lim

x??2x?x3

(12)设函数y?

1(n)

,则y(0)?_________. 2x?3

(13)设f(u,v)是二元可微函数,z?f(,),则

yxxy?z?z

?y?________. ?x?y

(14)微分方程

dyy1y3

??()满足ydxx2x

x?1

?1的特解为?0?0

(15)设距阵A??

?0??0100?

?010?

,则A3的秩为_______.

001?

?000?

1

的概率为________. 2

(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于

三、解答题:17-24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本题满分10分) 设函数y?y(x)由方程ylny?x?y?0确定,试判断曲线y?y(x)在点(1,1)附近

的凹凸性. (18)(本题满分11分) 设二元函数

?x2.?

f(x,y)?计算二重积分

D

x?y?1.1?x?y?2.

??f(x,y)d?.其中D??(x,y)

x?y?2

?

(19)(本题满分11分)

设函数f(x),g(x)在?a,b?上内二阶可导且存在相等的最大值,又f(a)=g(a),

f(b)=g(b),证明:

(Ⅰ)存在??(a,b),使得f(?)?g(?); (Ⅱ)存在??(a,b),使得f''(?)?g''(?). (20)(本题满分10分)

将函数f(x)?

1

展开成x?1的幂级数,并指出其收敛区间.

x2?3x?4

(21)(本题满分11分)

?x1?x2?x3?0?

设线性方程组?x1?2x2?ax3?0

?2

?x1?4x2?ax3?0与方程x1?2x2?x3?a?1

(22)(本题满分11分)

设3阶实对称矩阵A的特征值?1?1,?2?2,?3??2,?1?(1,?1,1)T是A的属于?1的一个特征向量.记B?A?4A?E,其中E为3阶单位矩阵.

(Ⅰ)验证?1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (Ⅱ)求矩阵B. (23)(本题满分11分)

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

5

3

(1)

(2)

有公共解,求a的值及所有公共解

?2?x?y,0?x?1,0?y?1.

f(x,y)??

?0,其他

(Ⅰ)求P?X?2Y?;

(Ⅱ)求Z?X?Y的概率密度fZ(z). (24)(本题满分11分)

设总体X的概率密度为

?1

?2?,0?x??,??1

f(x;?)??,??x?1,.

?2(1??)?0,其他??

其中参数?(0???1)未知,X1,X2,...Xn是来自总体X的简单随机样本,X是样本均值.

?; (Ⅰ)求参数?的矩估计量?

(Ⅱ)判断4X是否为?的无偏估计量,并说明理由.

2

2

2007年考研数学(三)真题

一、选择题(本题共10分小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在后边的括号内) (7) 当x?

0B)

?

A

.1?

B.ln? )

C1

D.1?c

(8) 设函数f(x)在x?0处连续,下列命题错误的是: (D)

f(x)f(x)?f(?x)

存在,则f(0)?0 B.若lim存在,则f(0)?0

x?0x?0xx

f(x)f(x)?f(?x)

C..若lim存在,则f'(0)存在 D.若lim存在,则f'(0)存在

x?0x?0xxA.若lim

(9) 如图.连续函数y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间??2,0?,?0,2?上图形分别是直径为2的上、下半圆周,设F(x)?则下列结论正确的是:(C )

?

x

f(t)dt,

35

F(?2) B.F(3)?F(2) 4435

2) C.F(?3) ??F(2) D.F(?3)?F(?

44

A..F(3)??

(10) 设函数f(x,y)连续,则二次积分 A. C.

??dx?

2

?1

sinx

f(x,y)dy等于(B)

xf(x,y)d

?

10

1

dy?

2

?

??arcsinx

f(x,y)dx B.

f(x,y)d x D.

?

?

1

dy?

?

??arcysin

??arcsiny

?dy??

??arcysin1

dy??

f(x,y)dx

2

(11) 设某商品的需求函数为Q?160?2?,其中Q,?分别表示需要量和价格,如果该商品需求弹性的绝对值等于1,则商品的价格是(D)

A. 10 B. 20 C.30 D.40 (12) 曲线y?

1

?ln(1?ex),渐近线的条数为(D) x

A. 0 B.1 C.2 D.3

(A)

(7)设向量组线性无关

(A)?1??2,?2??1,?3??1 (B)?2??1,?2??3,?3??1 (C)?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1 (D)?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1

2007年考研数一答案篇十:2001年数一考研答案

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